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문제:
피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다. 이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다. n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력:
첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.
출력:
첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.
풀이:
일단 n이 엄청나게 크다.
그래서 원래 피보나치수열인
dp[x] = dp[x-1] + dp[x-2] 를 하면 당연히 안 돌아간다.
그래서 일단 문제에서 주어진
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
을 가져와 노트에 끄적여보니 규칙을 발견했다.
짝수인 경우에는
dp[짝수] = dp[짝수//2 + 1]^2 - dp[짝수//2 -1 ]**2
홀수인 경우에는
dp[홀수] = dp[짝수//2 + 1]^2 + dp[짝수//2 ]**2
그리고 저번에 배운
모듈러 연산을 적용해서 식에 적용을 해준다.
import sys
from collections import defaultdict
sys.stdin = open('/Users/song/Desktop/Python/Python/h.txt', 'r')
dp = defaultdict(int)
dp[0] = 0
dp[1] = 1
dp[2] = 1
def fibo(x):
if dp.get(x):
return dp[x] % 1000000007
else:
if x % 2 == 0:
dp[x // 2 + 1] = fibo(x // 2 + 1) % 1000000007
dp[x // 2 - 1] = fibo(x // 2 - 1) % 1000000007
return dp[x // 2 + 1] ** 2 - dp[x // 2 - 1] ** 2
else:
dp[x//2 + 1] = fibo(x // 2 + 1) % 1000000007
dp[x//2] = fibo(x // 2) % 1000000007
return dp[x // 2 + 1] ** 2 + dp[x // 2] ** 2
x = int(input())
print(fibo(x)% 1000000007)
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